陳氏優學
教學課題
橢圓
知識點一：橢圓的定義
平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.
注意：若，則動點的軌跡為線段；
若，則動點的軌跡無圖形.
講練結合一.橢圓的定義
1．若的兩個頂點，的周長為，則頂點的軌跡方程是
知識點二：橢圓的標準方程
1．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；
2．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；
注意：
1．只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；
2．在橢圓的兩種標準方程中，都有和；
3．橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，。
講練結合二．利用標準方程確定參數
1．橢圓的焦距為，則=
。
2．橢圓的一個焦點是，那么
。
知識點三：橢圓的簡單幾何性質
橢圓的的簡單幾何性質
（1）對稱性
對于橢圓標準方程，把*換成─*，或把y換成─y，或把*、y同時換成─*、─y，方程都不變，所以橢圓是以*軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。
（2）范圍
橢圓上所有的點都位于直線*=±a和y=±b所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足|*|≤a，|y|≤b。
（3）頂點
①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。
②橢圓（a＞b＞0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1（─a，0），
A2（a，0），B1（0，─b），B2（0，b）。
③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長
和短半軸長。
（4）離心率
①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。
②因為a＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因
此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當
a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為*2+y2=a2。
橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：
（1），，；
（2），，；
（3）,，；
知識點四：橢圓與（a＞b＞0）的區別和聯系
標準方程
圖形
性質
焦點
，
，
焦距
范圍
，
，
對稱性
關于*軸、y軸和原點對稱
頂點
，
，
軸
長軸長=，短軸長=
離心率
準線方程
焦半徑
，
，
注意：橢圓，（a＞b＞0）的相同點為形狀、大小都相同，參數間的關系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。
題型一
橢圓焦點三角形面積公式的應用
定理
y
F1
O
F2
P
P
在橢圓（＞＞0）中，焦點分別為、，點P是橢圓上任意一點，，則.
證明：記，由橢圓的第一定義得
在△中，由余弦定理得：
配方得：
即
由任意三角形的面積公式得：
.
典題妙解
例1
若P是橢圓上的一點，、是其焦點，且，求
△的面積.
解法一：在橢圓中，而記
點P在橢圓上，
由橢圓的第一定義得：
在△中，由余弦定理得：
配方，得：
從而
解法二：在橢圓中，，而
解法一復雜繁冗，運算量大，解法二簡捷明了，兩個解法的優劣立現！
例2
已知P是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則△的面積為（
）
A.
B.
C.
D.
解：設，則，
故選答案A.
練習
6．已知橢圓的中心在原點，、為左右焦點，P為橢圓上一點，且，△
的面積是，準線方程為，求橢圓的標準方程.
參考答案
6．解：設，.
，.
又，即.
或.
當時，，這時橢圓的標準方程為；
當時，，這時橢圓的標準方程為；
但是，此時點P為橢圓短軸的端點時，為最大，，不合題意.
故所求的橢圓的標準方程為.
題型二
中點弦問題
點差法
中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線方程？
例3.
弦所在的直線方程。
分析：本例的實質是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進一步的研究。
解：法一
法二
點差法
1.過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在*軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=*過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.
命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強，屬★★★★★級題目.
知識依托：待定系數法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.
錯解分析：不能恰當地利用離心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當地利用好對稱問題是解決好本題的關鍵.
技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達定理.
解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.
設橢圓方程為*2+2y2=2b2,A(*1,y1),B(*2,y2)在橢圓上.
則*12+2y12=2b2,*22+2y22=2b2,兩式相減得，(*12－*22)+2(y12－y22)=0,設AB中點為(*0,y0),則kAB=－,又(*0,y0)在直線y=*上，y0=*0,于是－=
－1,kAB=－1,設l的方程為y=－*+1.
右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(*＇,y＇),由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.
∴所求橢圓C的方程為
=1,l的方程為y=－*+1.
解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.
設橢圓C的方程為*2+2y2=2b2,l的方程為y=k(*－1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)*2－4k2*+2k2－2b2=0,則*1+*2=,y1+y2=k(*1－1)+k(*2－1)=k(*1+*2)－2k=－.
直線l：y=*過AB的中點(),則,解得k=0，或k=－1.
若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(*－1),即y=－*+1,以下同解法一.
題型三
弦長公式與焦半徑公式
1、
一般弦長公式
弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，（若分別為A、B的縱坐標，則＝），若弦AB所在直線方程設為，則＝。
2、焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。
1.
第二定義：平面內與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數
橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率。
注意：
②e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線的距離的比。
2.
焦半徑及焦半徑公式：
橢圓上一個點到焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。
已知點P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍
6.
解：設P，橢圓的準線方程為，不妨設F1、F2分別為下焦點、上焦點
則
∵，
∴當時，
當
因此，的取值范圍是
例2.
時，點P橫坐標的取值范圍是_______________。（2000年全國高考題）
分析：可先求∠F1PF2＝90°時，P點的橫坐標。
解：法一
法二
題型四
參數方程
3.
橢圓參數方程
問題：如圖以原點為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作AN⊥O*，垂足為N，過點B作BN⊥AN，垂足為M，求當半徑OA繞O旋轉時點M的軌跡的參數方程。
解：
參數。
說明：
對上述方程（1）消參即
由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進行三角變形即得參數方程。
直線與橢圓位置關系：
②求橢圓上動點P（*，y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數方程法；法二，數形結合，求平行線間距離，作l
‖l且l
與橢圓相切）
例4.
的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？
解：法一
法二
1．橢圓的焦點為、，是橢圓過焦點的弦，則的周長是
。
2．設，為橢圓的焦點，為橢圓上的任一點，則的周長是多少？的面積的最大值是多少？
3．設點是橢圓上的一點，是焦點，若是直角，則的面積為
。
變式：已知橢圓，焦點為、，是橢圓上一點．
若，
求的面積．
五．離心率的有關問題
1.橢圓的離心率為，則
2.從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為，則此橢圓的離心率為
3．橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為
4.設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。
5.在中，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率
．
講練結合六.最值問題
1.橢圓兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_____，最小值為_____
2、橢圓兩焦點為F1、F2，A(3，1)點P在橢圓上，則|PF1|+|PA|的最大值為_____，最小值為
___
3、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點，求|PA|的最大值
最小值
。
4.設F是橢圓＋=1的右焦點,定點A(2,3)在橢圓內,在橢圓上求一點P使|PA|+2|PF|最小,求P點坐標
最小值
.
知識點四：橢圓與（a＞b＞0）的區別和聯系
標準方程
圖形
性質
焦點
，
，
焦距
范圍
，
，
對稱性
關于*軸、y軸和原點對稱
頂點
，
，
軸
長軸長=，短軸長=
離心率
準線方程
焦半徑
，
，
注意：橢圓，（a＞b＞0）的相同點為形狀、大小都相同，參數間的關系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。
1．如何確定橢圓的標準方程？
任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。
確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a、b，一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。
2．橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義
橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下圖幫助記憶：
a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。
3．如何由橢圓標準方程判斷焦點位置
橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看*2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。
4．方程A*2+By2=C（A、B、C均不為零）表示橢圓的條件
方程A*2+By2=C可化為，即，
所以只有A、B、C同號，且A≠B時，方程表示橢圓。
當時，橢圓的焦點在*軸上；
當時，橢圓的焦點在y軸上。
5．求橢圓標準方程的常用方法：
①待定系數法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方
程中的參數、、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程。
6．共焦點的橢圓標準方程形式上的差異
共焦點，則c相同。
與橢圓（a＞b＞0）共焦點的橢圓方程可設為（k＞－b2）。此類問題常用待定系數法求解。
7．判斷曲線關于*軸、y軸、原點對稱的依據：
①若把曲線方程中的*換成─*，方程不變，則曲線關于y軸對稱；
②若把曲線方程中的y換成─y，方程不變，則曲線關于*軸對稱；
③若把曲線方程中的*、y同時換成─*、─y，方程不變，則曲線關于原點對稱。
8．如何解決與焦點三角形△PF1F2（P為橢圓上的點）有關的計算問題？
與焦點三角形有關的計算問題時，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角()結合起來，建立、之間的關系.
9．如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關系？
長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為c2=a2－b2，a＞c＞0，用a、b表示為，當越小時，橢圓越扁，e越大；當越大，橢圓趨近圓，e越小，并且0＜e＜1。
課后作業
1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為(
)
A
圓
B
橢圓
C線段
D
直線
2、橢圓左右焦點為F1、F2，CD為過F1的弦，則CDF1的周長為______
3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是(
)
A
-10
C
k≥0
D
k>1或k0)有
(A)相等的焦距
(B)相同的離心率
(C)相同的準線
(D)以上都不對
19、橢圓與（0 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦點 (C)相同的準線 (D)有相等的長軸、短軸 20、橢圓上一點P到左準線的距離為2，則點P到右準線的距離為 21、點為橢圓上的動點,為橢圓的左、右焦點,則的最小值為__________,此時點的坐標為________________. 篇2：小學老師《吳正憲小學數學》讀后感 小學老師《吳正憲與小學數學》讀后感 上個月，我認真閱讀了《吳正憲與小學數學》一書。看完此書，心中有許多感慨，感慨吳特對教學工作的投入，感慨吳特教學理念的新穎，感慨吳特對學生的寬容…… 一、感受教師職業生命的價值 吳老師16歲走上講臺，懷著做一名優秀教師的愿望，全身心的投入，勤勤懇懇的工作，以為這樣就能勝任“傳道、授業、解惑”的教師天職。但教師的職業生涯并非一帆風順的，包括象吳老師這樣的全國特級教師。終于有一天，她發現：課堂上孩子學生變得越來越麻木，目光有些呆滯，語言有些貧乏，思維有些滯后……當時的吳老師不知所措。但是，很快內心凝聚起一股強烈的責任感，促使她探索一條新的教學之路。開始拜師學習、苦練內功、不斷積累……功夫不負有心人，吳老師成功了，她的課堂教學、她的教學理念成為了大家學習的榜樣。 二、和學生一起走進數學樂園 ，為學生提供優質的數學教育 全書自始至終，我都感覺到吳老師積極投身于小學數學課堂教學的探索實踐，處處以學生為中心。隨著科學技術的迅速發展，社會迫切需要既會動腦，又會動手的人才。吳老師指出：過去的教學更多注重的是教師“教”的過程，而忽視學生“學”的過程，課堂上要么是教師演示，學生觀察，要么是學生在老師的指令下演示操作，忽視了學生主體性的發揮，讓學生學會學習正是改變學生被動接受的學習方式，讓孩子們在數學課堂上自由地探索、發現、創造。現在數學課程改革，很強調讓孩子們親自動手做數學，應該在豐富有趣的數學學習中讓孩子主動地去觀察、實驗、操作、猜測、驗證和推理，從而發現規律獲取知識。 看到這里，我想我平時在課堂上是不是應該多給學生思考的時間和空間？讓他們在和諧寬松的環境下滿懷信心地參加數m.dewk.cn學教學實驗活動，使孩子們的思維閃爍出創造的火花。正象吳老師所說的：智慧就在孩子們的手上。 另外，吳老師對學生情感的關注，讓學生學會學習數學喜歡數學的態度，也讓我深有感受。她能走進孩子的心靈深處，與孩子產生共鳴。例如：有一次，教學“帶小括號的計算”。問題是這樣的：李師傅上午工作4小時，下午工作3小時，平均每小時做12個零件。李師傅一天一共做了多少個零件？要求列綜合算式解答。一位學生這樣列式：12×3+4。在交流中，大家意識到要先算加法，再算乘法，就可以解決這個問題；但這與運算順序不符。于是提出了“小括號”。 大家都覺得小括號“了不起”。可偏偏王同學不同意。他是個個性極強的學生。他站起來理直氣壯地說：“沒有小括號的存在，照樣可以解決這個問題。”他這么列式：12×4+12×3。雖然老師說“希望能夠接受這個可愛的小括號”，但王同學仍小聲嘀咕著：反正我不喜歡小括號。面對這樣的突發事件：學生情感上不樂意接受小括號怎么辦？我們看看吳老師是怎么處理的，吳老師非常在意，靈機一動，提了一個新問題：王紅同學積極支援災區。他有92本課外讀物，自己留下32本后，把剩下的書送給了5個小朋友，平均每個小朋友得到幾本？要解決這個問題，是一定要用到小括號的。王同學認識到這一點后，不好意思的說了句“小括號挺好的”。吳老師對一個小細節這么關注，不正能體現她對學生的關愛嗎？ 三、大家眼中的吳老師 無論是張梅玲教授還是拜吳正憲老師為師的小學教師們，從他們的言談中我不難感覺到，同樣是數學老師教給小學生數學知識，吳老師的課卻能讓學生在快樂中學習，并且能讓學生真正用所學知識解決實際問題，這不正是我們所有小學數學老師所追求的目標嗎？ 吳老師每個教學的細節，都有她與學生情感的交融。難怪，不僅孩子們喜歡吳老師的課，成千上萬的小學數學老師也喜歡聽吳老師講課。我希望大家都來讀一讀《吳正憲與小學數學》這本書，感受吳老師的教學魅力！ 篇3：小學數學聽課一些心得體會 小學數學聽課的一些心得體會 教學改革的進一步深入，我們老師的教學思想、教學方法、教學語言等提出了更高的要求。今年，我有幸聽了30節左右的數學教學展示課，課后同事們精彩課堂教學點評也為我們提供了一次一次難得的學習機會。通過本學期聽課學習使我獲得更多的教學經驗，讓我收獲頗豐，受益匪淺，感受頗多，現就談談自己聽課后的一些心得體會。 1、上課老師精心設計課堂教學。 教學設計是老師為達到預期教學目的，按照教學規律，對教學活動進行系統規劃的過程。從駱萍老師的課堂教學中，我能感受到教師的準備是相當充分的：不僅“備”教材，還“備”學生，從基礎知識目標、思想教育目標到能力目標，都體現了依托教材以人為本的學生發展觀，對基本概念和基本技能的處理也都進行了精心的設計。 2、老師的教學過程精致。從老師授課的教學過程來看，都是經過了精心準備的，從導入新課到布置作業課后小結，每一句話都很精煉、每一個問題的設置都恰到好處，學生在回答課堂提問以及課堂練習過程中，老師始終是循循善誘，笑容可掬。根據學生的知識水平、認知能力設計教學的各個環節，在知識深難度的把握上處理得很好，完全做到突出重點、突破難點。 3、老師注重知識的傳授與能力的培養相結合。今年我們數學組確立了“以螺旋上升”的命題為指導思想，這就加大了對老師的能力考查，為此老師在教學過程中特別注意了這個問題：在了解基礎知識的基礎上，提出問題讓學生思考，指導學生去練習、去歸納、去概括、去總結，讓學生先于教師得出結論，從而達到在傳授知識的基礎上使學生的能力得到培養的目的。 4、老師教態自然，過渡語言很自然，鼓勵、評價學生的語言恰如其分，有效地增強了學生的自信心與積極性。同時教師道法自然數學課堂教學，忌教師和學生背道而馳。大多數老師的課堂，讓我體會到了課堂教學的靈活性、靈動性，教師自上課至課終，老師始終圍繞學生運轉，學生一直環繞老師運行。教師對學生并沒有過多的限制和束縛，學生的想象、討論、聯系是自由進行的，學生占據了課堂的主陣地，但是，學生沒有脫離軌道，沒有脫離教師精妙設計的運行軌道，教師充分“放”了學生，學生充分“離”了老師，而結果是圓滿的，成功的，學生學到了知識，教師達成了“傳道、授業、解惑”的天職。 聽課評課是一個短暫的學習過程，我要結合自己以往的教育教學工作，在今后的教學工作中努力找出教育教學方面的差距，向教育教學經驗豐富的老師學習，教壇無邊，學海無涯，在以后的教學中，以更加昂揚的斗志，以更加飽滿的熱情，全身心地投入到教育教學工作中。