混凝土結構徐變變形計算方法
【摘 要】本文系統超介紹了混凝土結構由于混凝土徐變引起的變形的計算方法,推導出了基于老化理論和先天理論的徐變變形就散表達式,可供廣大工程技術人員參考。
【關鍵詞】混凝土結構;徐變
1. 概述
1.1 徐變變形。
在長期持續荷載作用下,混凝土棱柱體繼瞬時變形Δe(彈性變形)以后,隨時間t增長而持續產生的那一部分變形量,稱之為徐變變形Δc,如圖1所示。
圖1 棱柱體的徐變變形
1.2 徐變應變
單位長度的徐變變形量稱為徐變應變εc,它可表示為徐變變形量Δc與棱柱體長度l之比值,即
εc=Δcl(1)
1.3 瞬時應變。
瞬時應變又稱彈性應變εc,它是指初始加載的瞬間所產生的變形量Δc與棱柱體長度l之比,即
εe=Δel(2)
1.4 徐變系數。
徐變系數是自加載齡期τ0后至某個t時刻,在棱柱體內的徐變應變值與瞬時應變(彈性應變)值的比值,可表示為
φ(t,τ0)=εc/εe(3)
或εc=εe?φ(t,τ0)=σE?φ(t,τ0)(4)
上式表明對于任意時刻t,徐變應變與混凝土應力σ呈線性關系。
2. 徐變次內力
超靜定混凝土結構的徐變變形當受到多余約束的制約時,結構截面內將產生附加內力,工程上將此內力稱為徐變次內力。
設圖2a中的兩條對稱于中線的懸臂梁,在完成瞬時變形后,懸臂端點均處于水平位置,此時,懸臂根部的彎矩均為M=-ql22。隨著時間的增長,該兩個懸臂梁的端部,將發生隨時間t而變化的下撓量Δt和轉角θt(圖2a),盡管如此,直到徐變變形終止,該梁的內力沿跨長方向是不發生改變的。
現在再考察圖2c的情況,當兩懸臂端完成瞬時變形后,立即將合龍段的鋼筋焊接和澆筑接縫混凝土,以后雖然在接縫處仍產生隨時間變化的下撓量Δt,但轉角θt始終為零,這意味著兩側懸臂梁相互約束著角位移,從而使結合截面上的彎矩從0→Mt,而根部截面的彎矩逐漸卸載,這就是所謂的內力重分布(或應力重分布),直到徐變變形終止。結合截面上的Mt就是徐變次內力,但它與根部截面彎矩的絕對值之和仍為ql22。
由此可見,靜定結構只產生徐變變形,而不產生次內力,但當結構發生體系轉變而成為超靜定結構時,由于徐變變形受到了約束才會產生隨時間t變化的徐變次內力。
圖2 徐變變形與徐變次內力
3. 徐變系數表達式
3.1 三種理論。
為了計算結構徐變變形和徐變次內力,就需要知道徐變系數變化規律的表達式。根據一些學者的長期觀察和研究,一致認為徐變系數與加載齡期和加載持續時間兩個主要因素有關。所謂加載齡期是指結構混凝土自養護之日起至加載之日之間的時間間距,它用τi表示,i=0,1,2……,單位以天計;所謂持續荷載時間是指自加載之日τ起至所欲觀察之日t的時間間距,即t-τ。但是,在采用具體的表達式時,卻提出了三種不同的觀點,即三種理論:(1) 老化理論;(2) 先天理論;(3)混合理論。
3.2 徐變系數的表達式
(1) 按老化理論的狄辛格表達式。
狄辛格在20世紀30年代提出了表達徐變變化規律的基本曲線為
φ(t,0)=φ(∞,0)(1-eβt)(5)
當該式與老化理論結合起來,便得到
φ(t,τ)=φ(∞,τ)[1-e-β(t-τ)](6)
式中:φ(t,0)——加載齡期τ=0的混凝土在t(t >τ)時的徐變系數;
φ(∞,0)——加載齡期τ=0的混凝土在t=∞時的徐變系數終值;
β——徐變增長系數,在冬季零下溫度較長地區取β=1～2,常溫地區β=2～4;
φ(∞,τ)——加載齡期φ(∞,τ)的混凝土在t=∞時的徐變系數終值,φ(∞,τ)=φ(∞,0)eβt。
該式曾在我國幾座大橋的設計中得到了應用。
(2) 按先天理論的狄辛格表達式。
當式(5)與先天理論結合起來,便得到
φ(t,τ)=φ(∞,0)[1-e-β(t-τ)](7)
該式由于缺乏實測資料印證,故在工程上較少應用。
徐變系數終值φ(∞,τ)不僅與加載齡期τ有關,還與水灰比、水泥用量、構件尺寸、環境適度等因素有關,各國規范均有不同的規定。
4. 結構混凝土的徐變變形計算
4.1 基本假定。
當計算由混凝土徐變引起的結構徐變變形時,一般采用下列基本假定:
(1)不考慮結構內配筋的影響;
(2)混凝土的彈性模量假定為常值;
(3)采用徐變線性理論,即徐變應變與應力成正比關系的假定,由此可以應用“力的獨立作用原理”和“應力與應變的疊加原理”。
4.2 靜定結構在恒定荷載條件下的徐變變形計算。
現用圖3所示的等截面懸臂梁作為例子進行闡明。
圖3 不變荷載作用下的徐變變形
設Δ和θ分別為懸臂梁端部作用有恒定垂直力P和恒定彎矩M時的彈性(瞬時)撓度和端轉角,Δc(t,τ)和θc(t,τ)分別為相應的加載齡期為τ且持續到t時刻的徐變撓度和徐變端轉角(圖3)。于是便有下列關系式,即
Δc(t,τ)=Δeφ(t,τ)=PΔe?φ(t,τ)
θc(t,τ)=θe(t,τ)=Mθe?φ(t,τ)(8)
式中:Δe——單位力P=1時,在其作用方向上的位移;
θe單位力矩M=1時,在作用方向上的轉角。
按照結構力學中的虛功原理,Δe和θe可以表示為:
Δe=δ11=∫loM21EId*
θe=δ22=∫loM22EId*(9)
式中的M1和M2分別為P=1和M=1
時懸臂梁的內力分布圖(圖3c,d)。將式(9)代入式(8)便有Δc(t,τ)=P?∫loM21EId*?φ(t,τ)
θc(t,τ)=M?∫loM22EId*?φ(t,τ)(10)
4.3 靜定結構在隨時間t變化的荷載作用下之徐變變形計算。
本節前面介紹了隨時間t變化的徐變次內力概念。現在以圖4所示先簡支后連續的兩等跨連續梁作為例子來闡明靜定結構在隨時間t變化的荷載作用下之徐變變形。從中支點截開,取兩跨簡支梁(靜定結構)作為基本結構,如圖4b所示。由于該結構是采用先分兩跨有支架施工而后合龍的體系轉換方法,故在此切口處的初始恒載彎矩M0=0,基本結構上只有垂直恒載q和隨時間變化的贅余次力矩M(t)的作用。為了分析上的簡單起見,暫假定左、右簡支梁的徐變系數φ(t,τ)相同,這樣,參照圖4,M(t)便可以應用兩種方法求解:一個是建立微分方程式的狄辛格法;另一個是建立代數方程式的特勞斯德?巴曾法。
應用狄辛格法時,在時間增量dt內,切口兩側變形增量的協調方程則為
M(t)δ22dφ+dM(t)δ22+Δ2pdφ=0(11)
應用巴曾法時,在任意時刻t時,切口兩側的變形協調方程則為
M(t)δ22(1+ρ?φ)Δ2pφ=0(12)
式中:
δ22Δ2p——在切口處分別由單位力矩M=1和恒載q引起截面兩側的相對彈性角位移;
ρ(t,τ)——老化系數,又稱時效系數,它是考慮結構次內力的徐變因混凝土的老化而逐漸衰減的一個折減系數,其值小于1。
dφ——時間增量dt內的徐變系數增量。
圖4 變化荷載下的徐變變形
從以上二式不難看出,式(11)在理論上是比較精確的,但當結構為高次超靜定,且各梁段的徐變系數φ(t,τ)又不相同時,必須建立龐大的微分方程組,求解十分困難。式(12)中的第二項是代表在t時刻由恒載q在切口處產生的相對徐變角位移,而第一項是代表同一時刻由徐變次內力M(t)在切口處產生的總的相對角位移,它可表為
θc(t,τ)=M(t)δ22(1+ρ?φ)(13)
它是將M(t)假想地視為不隨時間t變化的贅余力,通過老化系數ρ(t,τ)修正徐變系數φ(t,τ)以后,求得該次內力產生的總變形。但是在該式中卻有兩個未知量,即M(t)和ρ(t,τ),故不能求解。為此,我國的金成棣教授采取聯立混合求解的方法,具體的思路是應用式(11)求解M(t),再將它代入式(12),便得到關于ρ(t,τ)的一般表達式,解得這個未知量后,再求解線性代數方程組就不成問題了。
下面簡單介紹關于式(11)的求解。首先用δ22除全式,且令Me=Δ2p/δ22=常數,則得
dM(t)+[M(t)+Me]dφ=0(a)
注意到dMe=0,則上式可以寫成
d[M(t)+Me]M(t)+Me=-dφ(b)
此微分方程的解為
ln[M(t)+Me]=-φ+C(常數) (c)
利用圖2-4-31e,f中的邊界條件,當t=τ時,則M(t)=0,φ(t,τ)=0
便解得常數C為
C=ln(Me)(d)
再將式(d)代入式(c)后,則得
M(t)=-(1-e-φ)Me(e)
式(2-4-32)也可以改寫成如下的形式
M(t)=-φ1+ρ?φMe(f)
聯立解式(e),(f),便得到老化系數ρ(t,τ)的一般表達式為:
ρ(t,τ)=11-e-φ-1φ(14)
最后,參照式(9),則完全可以應用式(13)計算出在隨時間t變化的M(t)荷載下切口處的徐變變形δ2t,即
δ2t=θc(t,τ)=M(t)?(2∫l0M2EId*)[1+ρ(t,τ)?φ(t,τ)](15)
參考文獻
[1] 橋梁工程.姚玲森主編.人民交通出版社[M],20**.2
[2] 橋梁結構電算程序設計.顏東煌等主編.湖南大學出版社[M],1999.4
[作者簡介]周家勝,男,大學?？?助理工程師,從事公路與橋梁工程施工及管理工作。
篇2：混凝土結構徐變變形計算方法
混凝土結構徐變變形計算方法
【摘 要】本文系統超介紹了混凝土結構由于混凝土徐變引起的變形的計算方法,推導出了基于老化理論和先天理論的徐變變形就散表達式,可供廣大工程技術人員參考。
【關鍵詞】混凝土結構;徐變
1. 概述
1.1 徐變變形。
在長期持續荷載作用下,混凝土棱柱體繼瞬時變形Δe(彈性變形)以后,隨時間t增長而持續產生的那一部分變形量,稱之為徐變變形Δc,如圖1所示。
圖1 棱柱體的徐變變形
1.2 徐變應變
單位長度的徐變變形量稱為徐變應變εc,它可表示為徐變變形量Δc與棱柱體長度l之比值,即
εc=Δcl(1)
1.3 瞬時應變。
瞬時應變又稱彈性應變εc,它是指初始加載的瞬間所產生的變形量Δc與棱柱體長度l之比,即
εe=Δel(2)
1.4 徐變系數。
徐變系數是自加載齡期τ0后至某個t時刻,在棱柱體內的徐變應變值與瞬時應變(彈性應變)值的比值,可表示為
φ(t,τ0)=εc/εe(3)
或εc=εe?φ(t,τ0)=σE?φ(t,τ0)(4)
上式表明對于任意時刻t,徐變應變與混凝土應力σ呈線性關系。
2. 徐變次內力
超靜定混凝土結構的徐變變形當受到多余約束的制約時,結構截面內將產生附加內力,工程上將此內力稱為徐變次內力。
設圖2a中的兩條對稱于中線的懸臂梁,在完成瞬時變形后,懸臂端點均處于水平位置,此時,懸臂根部的彎矩均為M=-ql22。隨著時間的增長,該兩個懸臂梁的端部,將發生隨時間t而變化的下撓量Δt和轉角θt(圖2a),盡管如此,直到徐變變形終止,該梁的內力沿跨長方向是不發生改變的。
現在再考察圖2c的情況,當兩懸臂端完成瞬時變形后,立即將合龍段的鋼筋焊接和澆筑接縫混凝土,以后雖然在接縫處仍產生隨時間變化的下撓量Δt,但轉角θt始終為零,這意味著兩側懸臂梁相互約束著角位移,從而使結合截面上的彎矩從0→Mt,而根部截面的彎矩逐漸卸載,這就是所謂的內力重分布(或應力重分布),直到徐變變形終止。結合截面上的Mt就是徐變次內力,但它與根部截面彎矩的絕對值之和仍為ql22。
由此可見,靜定結構只產生徐變變形,而不產生次內力,但當結構發生體系轉變而成為超靜定結構時,由于徐變變形受到了約束才會產生隨時間t變化的徐變次內力。
圖2 徐變變形與徐變次內力
3. 徐變系數表達式
3.1 三種理論。
為了計算結構徐變變形和徐變次內力,就需要知道徐變系數變化規律的表達式。根據一些學者的長期觀察和研究,一致認為徐變系數與加載齡期和加載持續時間兩個主要因素有關。所謂加載齡期是指結構混凝土自養護之日起至加載之日之間的時間間距,它用τi表示,i=0,1,2……,單位以天計;所謂持續荷載時間是指自加載之日τ起至所欲觀察之日t的時間間距,即t-τ。但是,在采用具體的表達式時,卻提出了三種不同的觀點,即三種理論:(1) 老化理論;(2) 先天理論;(3)混合理論。
3.2 徐變系數的表達式
(1) 按老化理論的狄辛格表達式。
狄辛格在20世紀30年代提出了表達徐變變化規律的基本曲線為
φ(t,0)=φ(∞,0)(1-eβt)(5)
當該式與老化理論結合起來,便得到
φ(t,τ)=φ(∞,τ)[1-e-β(t-τ)](6)
式中:φ(t,0)——加載齡期τ=0的混凝土在t(t >τ)時的徐變系數;
φ(∞,0)——加載齡期τ=0的混凝土在t=∞時的徐變系數終值;
β——徐變增長系數,在冬季零下溫度較長地區取β=1～2,常溫地區β=2～4;
φ(∞,τ)——加載齡期φ(∞,τ)的混凝土在t=∞時的徐變系數終值,φ(∞,τ)=φ(∞,0)eβt。
該式曾在我國幾座大橋的設計中得到了應用。
(2) 按先天理論的狄辛格表達式。
當式(5)與先天理論結合起來,便得到
φ(t,τ)=φ(∞,0)[1-e-β(t-τ)](7)
該式由于缺乏實測資料印證,故在工程上較少應用。
徐變系數終值φ(∞,τ)不僅與加載齡期τ有關,還與水灰比、水泥用量、構件尺寸、環境適度等因素有關,各國規范均有不同的規定。
4. 結構混凝土的徐變變形計算
4.1 基本假定。
當計算由混凝土徐變引起的結構徐變變形時,一般采用下列基本假定:
(1)不考慮結構內配筋的影響;
(2)混凝土的彈性模量假定為常值;
(3)采用徐變線性理論,即徐變應變與應力成正比關系的假定,由此可以應用“力的獨立作用原理”和“應力與應變的疊加原理”。
4.2 靜定結構在恒定荷載條件下的徐變變形計算。
現用圖3所示的等截面懸臂梁作為例子進行闡明。
圖3 不變荷載作用下的徐變變形
設Δ和θ分別為懸臂梁端部作用有恒定垂直力P和恒定彎矩M時的彈性(瞬時)撓度和端轉角,Δc(t,τ)和θc(t,τ)分別為相應的加載齡期為τ且持續到t時刻的徐變撓度和徐變端轉角(圖3)。于是便有下列關系式,即
Δc(t,τ)=Δeφ(t,τ)=PΔe?φ(t,τ)
θc(t,τ)=θe(t,τ)=Mθe?φ(t,τ)(8)
式中:Δe——單位力P=1時,在其作用方向上的位移;
θe單位力矩M=1時,在作用方向上的轉角。
按照結構力學中的虛功原理,Δe和θe可以表示為:
Δe=δ11=∫loM21EId*
θe=δ22=∫loM22EId*(9)
式中的M1和M2分別為P=1和M=1
時懸臂梁的內力分布圖(圖3c,d)。將式(9)代入式(8)便有Δc(t,τ)=P?∫loM21EId*?φ(t,τ)
θc(t,τ)=M?∫loM22EId*?φ(t,τ)(10)
4.3 靜定結構在隨時間t變化的荷載作用下之徐變變形計算。
本節前面介紹了隨時間t變化的徐變次內力概念。現在以圖4所示先簡支后連續的兩等跨連續梁作為例子來闡明靜定結構在隨時間t變化的荷載作用下之徐變變形。從中支點截開,取兩跨簡支梁(靜定結構)作為基本結構,如圖4b所示。由于該結構是采用先分兩跨有支架施工而后合龍的體系轉換方法,故在此切口處的初始恒載彎矩M0=0,基本結構上只有垂直恒載q和隨時間變化的贅余次力矩M(t)的作用。為了分析上的簡單起見,暫假定左、右簡支梁的徐變系數φ(t,τ)相同,這樣,參照圖4,M(t)便可以應用兩種方法求解:一個是建立微分方程式的狄辛格法;另一個是建立代數方程式的特勞斯德?巴曾法。
應用狄辛格法時,在時間增量dt內,切口兩側變形增量的協調方程則為
M(t)δ22dφ+dM(t)δ22+Δ2pdφ=0(11)
應用巴曾法時,在任意時刻t時,切口兩側的變形協調方程則為
M(t)δ22(1+ρ?φ)Δ2pφ=0(12)
式中:
δ22Δ2p——在切口處分別由單位力矩M=1和恒載q引起截面兩側的相對彈性角位移;
ρ(t,τ)——老化系數,又稱時效系數,它是考慮結構次內力的徐變因混凝土的老化而逐漸衰減的一個折減系數,其值小于1。
dφ——時間增量dt內的徐變系數增量。
圖4 變化荷載下的徐變變形
從以上二式不難看出,式(11)在理論上是比較精確的,但當結構為高次超靜定,且各梁段的徐變系數φ(t,τ)又不相同時,必須建立龐大的微分方程組,求解十分困難。式(12)中的第二項是代表在t時刻由恒載q在切口處產生的相對徐變角位移,而第一項是代表同一時刻由徐變次內力M(t)在切口處產生的總的相對角位移,它可表為
θc(t,τ)=M(t)δ22(1+ρ?φ)(13)
它是將M(t)假想地視為不隨時間t變化的贅余力,通過老化系數ρ(t,τ)修正徐變系數φ(t,τ)以后,求得該次內力產生的總變形。但是在該式中卻有兩個未知量,即M(t)和ρ(t,τ),故不能求解。為此,我國的金成棣教授采取聯立混合求解的方法,具體的思路是應用式(11)求解M(t),再將它代入式(12),便得到關于ρ(t,τ)的一般表達式,解得這個未知量后,再求解線性代數方程組就不成問題了。
下面簡單介紹關于式(11)的求解。首先用δ22除全式,且令Me=Δ2p/δ22=常數,則得
dM(t)+[M(t)+Me]dφ=0(a)
注意到dMe=0,則上式可以寫成
d[M(t)+Me]M(t)+Me=-dφ(b)
此微分方程的解為
ln[M(t)+Me]=-φ+C(常數) (c)
利用圖2-4-31e,f中的邊界條件,當t=τ時,則M(t)=0,φ(t,τ)=0
便解得常數C為
C=ln(Me)(d)
再將式(d)代入式(c)后,則得
M(t)=-(1-e-φ)Me(e)
式(2-4-32)也可以改寫成如下的形式
M(t)=-φ1+ρ?φMe(f)
聯立解式(e),(f),便得到老化系數ρ(t,τ)的一般表達式為:
ρ(t,τ)=11-e-φ-1φ(14)
最后,參照式(9),則完全可以應用式(13)計算出在隨時間t變化的M(t)荷載下切口處的徐變變形δ2t,即
δ2t=θc(t,τ)=M(t)?(2∫l0M2EId*)[1+ρ(t,τ)?φ(t,τ)](15)
參考文獻
[1] 橋梁工程.姚玲森主編.人民交通出版社[M],20**.2
[2] 橋梁結構電算程序設計.顏東煌等主編.湖南大學出版社[M],1999.4
[作者簡介]周家勝,男,大學?？?助理工程師,從事公路與橋梁工程施工及管理工作。
篇3：業主滿意度調查計算過程
業主滿意度調查計算過程
銷售部在8月份對顧客進行了顧客滿意度調查，發放調查表101份，收回95份，調查表收回率達到了94.1%。應用統計技術對回收的顧客滿意度調查表進行分析，計算得出顧客滿意率91.02%，達到了公司制定的質量目標。
計算過程如下：
質量：很滿意55、較滿意39、一般滿意1、較不滿意0、很不滿意0
價格：很滿意54、較滿意40、一般滿意1、較不滿意0、很不滿意0
小區管理：很滿意55、較滿意38、一般滿意2、較不滿意0、很不滿意0
環境： 很滿意55、較滿意38、一般滿意1、較不滿意1、很不滿意0
保安： 很滿意53、較滿意40、一般滿意2、較不滿意0、很不滿意0
綠化： 很滿意54、較滿意39、一般滿意1、較不滿意1、很不滿意0
物業： 很滿意54、較滿意40、一般滿意0、較不滿意1、很不滿意0
小區服務：很滿意53、較滿意41、一般滿意1、較不滿意0、很不滿意0
暫定滿意度的權數為：很滿意1、較滿意0.8、一般滿意0.5、較不滿意0.2、很不滿意0
質量的滿意度計算如下：
(55×1+39×0.8+1×0.5)/95×100%=91.26%
以此方法計算：價格滿意度91.05%、小區管理滿意度90.94%、環境滿意度90.63%、保安滿意度90.53%、綠化滿意度90.42%、物業滿意度90.73%、小區服務滿意度90.84%、
暫定調查類型的權數為：質量0.5、價格0.1、小區管理0.1、環境0.05、保安0.05、綠化0.05、物業0.1、服務0.05
總滿意率的計算如下：
91.26%×0.5+91.05%×0.1+90.94%×0.1+90.63%×0.05+90.53%×0.05+90.42%×0.05+90.73%×0.1+90.84%×0.05=91.0%
得出顧客總滿意率為91.0%。
通過分析，發現住戶對綠化、環境、保安、小區服務方面存在一般滿意和較不滿意較多，銷售部負責將保安、小區服務方面有關信息傳遞給物業管理公司要求物業管理公司針對此信息，加強對物業管理人員的培訓，以提高售后服務工作的質量。針對此次調查中的綠化、環境滿意度情況，通報綜合計劃開發部及工程管理部，在項目開發前期的規劃設計中做通盤考慮。
**房地產開發有限公司
銷 售 部
20**年*月30日